0 引言

精确的线路参数是电力系统进行继电保护正确决策以及故障精确定位的基础[1-3]。目前，计算线路参数的方法主要为理论分析法、离线测量法以及在线测量法[4]。其中，理论分析法通常根据线路的长度、电导率以及导线分裂形式等进行参数计算。但是，该方法考虑的因素较为单一，无法保证参数计算结果的准确性。离线测量法需要在线路停止运行的情况下进行参数计算，将会造成不必要的停电以及经济损失。此外，随着线路老化以及外部环境的影响，线路参数将会逐渐偏离离线测量的数值。在线测量法能够在不停电的情况下实时更新输电线路参数，是现有参数辨识技术的优选方法[5]。

在线测量法主要借助数据采集与监视控制系统（supervisory control and data acquisition，SCADA）、相量量测单元 （phasor measurement unit，PMU） 以及故障录波装置等获取电力系统实时运行数据，从而进行输电线路参数的在线计算[6]。其中，PMU装置通过全球定位系统进行对时，能够提供量测数据的同步相量信息[7]。

随着PMU装置在电力系统中的大量使用，国内外学者对基于PMU量测数据的在线测量法进行了广泛研究。在分析PMU获取的量测数据的基础上，文献[6]从理论出发并结合仿真软件，验证了基于PMU实现正序参数辨识的可行性。文献[8-12]通过列写线路两端电压、电流方程构建正序参数辨识模型，并利用最小二乘法及其改进算法进行模型求解，进而实现了输电线路正序参数的辨识。在上述文献的基础上，文献[13]采用最小二乘法的改进算法辨识了电力变压器的参数。随着人工智能算法的应用，文献[14-17]将支持向量机、神经网络、遗传算法等人工智能算法应用于正序参数辨识研究中。但是，人工智能算法依赖于训练数据的准确性而且存在可解释性较弱的问题。

PMU量测数据除了被用来进行正序参数辨识外，也有学者尝试利用PMU量测数据进行线路零序参数的辨识。文献[18]基于PMU采集2种不同工况下的线路双端信息并通过运行方式改变后的零序增量实现了零序参数的辨识。但是，该方法在进行零序参数辨识时，为了方便计算而忽略了线路的电容。文献[19]建立了单回以及双回耦合输电线路的零序参数模型，提出了一种基于增量法的零序参数辨识方法。文献[20]分析并利用PMU获取单相跳闸至重合闸成功之前的线路双端稳定且幅值大的零序分量，进而实现了零序参数的辨识。

PMU装置获取的双端数据的同步性是依靠全球定位系统实现的。然而，恶劣天气以及干扰装置会影响全球定位系统的信号接收，导致PMU数据出现不同步的问题[21-22]。虽然文献[8-12]能够实现双端输电线路正序或者零序参数的辨识，但是上述方法均依赖于双端数据的同步性。一旦出现PMU数据不同步的情况，上述方法的参数辨识结果将会不同程度地偏离真实值。为了降低PMU数据不同步对参数辨识结果带来的影响，文献[23]在构建参数辨识方程时未引入量测数据的相角信息，提高了PMU数据不同步情况下参数辨识的准确性。文献[24]提出了一种PMU数据误差校正的方法，改善了PMU量测数据的质量，进而实现了输电线路参数的有效辨识。但是，文献[23-24]所提方法仅用于双端线路的参数辨识，未进行T接线路下的适用性分析。考虑到T接线路中T节点的特殊性，文献[25-26]在双端单回线路参数辨识方程的基础上构建了T接线路参数辨识方程。但是，文献[25-26]所提方法仍需在量测数据同步的情况下进行，无法避免不同步角度带来的辨识误差问题。

针对上述问题，本文提出一种考虑PMU数据不同步的双端输电线路正序以及零序参数辨识方法，并将该方法拓展至T接线路。本文利用PMU装置分别获取线路正常运行以及单相故障情况下的线路双端信息。在分析线路正常运行时线路两端不受PMU不同步角度影响的功率量基础上，构建以正序参数和不同步角度为未知量的方程，进而提出输电线路正序参数的辨识方法。基于辨识出的正序参数以及不同步角度，推导单相故障下流入故障点的零序电流、故障点零序电压与线路零序参数之间的关联关系，并基于该关系构建零序参数辨识方程，进而提出输电线路的零序参数辨识方法。本文所提参数辨识方法易于实现，并且仿真结果验证了所提参数辨识方法的有效性和精确性。

1 输电线路等效模型

本章首先介绍并分析输电线路集中参数线路模型。其次，推导集中参数模型下线路总阻抗Z和总电纳Y与线路单位长度电阻r、线路单位长度电感L以及线路单位长度电容C的关系。最后，基于推导的线路参数关系，验证一定电压等级下线路集中参数模型的长度适用范围，为后续进行输电线路参数辨识提供线路等效模型选择依据。

1.1 集中参数模型

集中参数模型主要包括R-L模型、π型模型和T型模型[26]。由于利用集中参数模型等效输电线路时，通常使用π型模型进行分析计算，因此本节的集中参数模型采用π型模型。双端输电线路的π型集中参数模型如图1所示。

在π型集中参数模型中，线路的总阻抗Z与总电纳Y可以表示为

式中：R、X以及B分别为线路总电阻、线路总电抗以及线路总电纳；r、L以及C分别为线路单位长度电阻、电感以及电容；l为线路长度；ω为角频率。

根据基尔霍夫定律，线路的首端以及末端的电压和电流满足下式：

式中：和为线路首端的电压和电流；和为线路末端的电压和电流。

对式（2）进行进一步计算，得到：

联立式 （1） 和式 （3），可得：

因此，当进行输电线路参数辨识时，若采用π型集中参数模型，则线路单位长度参数可根据式 （4） 进行求解。

1.2 等效模型的长度适用范围

为了分析在一定电压等级下集中参数与分布参数模型的长度适用范围，在MATLAB中搭建了110 kV的单回双端输电线路。线路长度依次取为60 km、100 km、150 km、300 km以及500 km。线路单位长度电阻r为0.012 73 Ω/km，线路单位长度电感L为0.934 00 mH/km，线路单位长度电容C为12.740 00 nF/km。

定义线路参数的绝对误差公式为

根据1.1节和1.2节线路参数计算公式，表1给出了基于集中参数以及分布参数模型的线路参数辨识结果及其绝对误差。

根据表1可知，当线路长度大于150 km时，集中参数模型计算得到的绝对误差较大。其原因在于，当线路长度较长时，线路的分布特性不可忽略[11]。而当线路长度小于150 km时，基于集中参数模型的线路参数辨识结果绝对误差较小，即线路参数辨识结果均较为接近真实值。因此，在110 kV电压等级下，当输电线路长度小于150 km时，为了方便分析计算，可采用集中参数模型[3,28]。

2 PMU数据不同步情况下的双端输电线路正序以及零序参数辨识方法

本章首先根据文献[29]分析PMU数据不同步对参数辨识结果的影响。其次，在选定的输电线路等效模型基础上，利用系统正常运行时线路两端不受不同步角度影响的功率量构建正序参数辨识方程，提出考虑PMU数据不同步的输电线路正序参数辨识方法。最后，在求解出线路正序参数以及不同步角度的前提下，分析系统发生单相接地故障时的正序、负序以及零序网络，提出一种先计算故障距离再辨识线路零序参数的方法。

2.1 PMU数据不同步对参数辨识的影响

结合实际需求，本文参数辨识所研究的对象为长度100 km的110 kV双端输电线路。根据第1章的分析可知，可用图1所示的π型集中参数模型对其进行等效。相应地，利用PMU量测得到线路两端电压和电流相量，并将其代入式 （3） 即可求得线路参数。由于PMU量测量包含了相角信息，因此利用PMU进行量测时如果出现数据不同步情况，则不同步角度的存在将会影响参数辨识结果。

文献[29]在式 （3） 的基础上分别分析了电压不同步角度以及电流不同步角度对参数辨识结果的影响。

当存在电压不同步角度时，线路参数辨识的绝对误差可用下式计算得到：

式中：δu为以PMU获取线路末端电压数据时间为基准时，PMU获取的线路首端电压数据相对于获取的线路末端电压数据的不同步角度；Δθu为不存在不同步角度时线路首末两端的电压相角差；r'、L'以及C'为存在电压不同步角度时的线路单位长度电阻、线路单位长度电感以及线路单位长度电容的辨识值；r、L以及C为线路单位长度电阻、线路单位长度电感以及线路单位长度电容的真实值。

当存在电流不同步角度时，线路参数辨识的绝对误差满足下式：

式中，δi为以PMU获取线路末端电流数据时间为基准时，PMU获取的线路首端电流数据相对于获取的线路末端电流数据的不同步角度，Δθi为不存在电流不同步角度时线路首末两端的电流相角差。

由式（6）和式（7）可知，当存在电压或电流不同步角度时，电阻、电感以及电容辨识值的绝对误差与不同步角度呈现近似线性关系，即不同步角度的增大将会放大参数辨识的绝对误差[29]。因此，亟需研究PMU数据不同步情况下的线路参数辨识方法。

2.2 PMU数据不同步时的输电线路正序参数辨识

当输电系统正常运行且三相换位充分时，线路两端电压和电流的负序以及零序分量几乎为零，电压和电流中只存在正序分量[10]。此时，双端输电线路可等效为如图2所示的π型集中参数模型。图中，线路各参数均为正序参数。

若PMU进行量测时受到干扰或者攻击，则PMU数据将会出现不同步的情况[30]。当出现PMU数据不同步时，以线路末端获取数据的时间为参考，线路首端获取的数据相对于线路末端获取的数据的不同步角度为δ，即考虑双端数据不同步时，若PMU获取的线路末端的电压和电流分别为和，则PMU获取的线路首端电压和电流与经过同步处理后的线路首端电压和电流之间的关系式为

根据2.1节分析可知，若直接利用PMU数据不同步情况下的线路首末两端的电压和电流相量，并将不同步数据直接代入式 （3） 求解正序参数，则会造成较大的参数辨识误差。进一步地，对线路首末两端的有功功率P1、P2和无功功率Q1、Q2进行分析，其表达式如下：

式中：θu1和θi1分别为和的相角；θu2和θi2分别为和的相角；和分别为和的相角；为复数取幅值符号。

由式（9）可知，线路两端的有功功率和无功功率数值不受不同步角度δ的影响。另外，线路两端的功率量与线路参数之间的关系满足下式：

其中，

观察式（10） 可知，该式存在g1、b1、B1以及4个未知量。因此，可在g1、b1以及B1这3个待辨识量的基础上将也看成待辨识量。对式（10）进行求解，即可得到g1、b1、B1以及。利用求解出的g1、b1、B1，得到线路单位长度的正序电阻r1、电感L1以及电容C1为

式中：l为线路长度。

利用求解出的得到不同步角度δ为

综上所述，本节所提正序参数辨识方法以正常情况下基于输电线路的两端功率量不受不同步角度的影响为切入点，利用线路参数表示线路两端功率量，进而构建了以不同步角度和正序参数为未知量的辨识方程。由于在辨识正序参数的过程中将不同步角度视为未知量，正序参数的辨识不受不同步角度的影响且辨识出正序参数的同时可辨识出不同步角度。

2.3 PMU数据不同步时的输电线路零序参数辨识

在系统正常运行时三相对称，线路中的零序分量几乎为零且不稳定，因此无法利用系统正常运行时的数据实现零序参数的辨识。考虑到线路发生单相接地故障时，系统中存在较大且稳定的零序分量，因此以线路发生单相接地故障为例，进行输电线路零序参数的辨识[20]。

进行零序参数辨识时，几点说明如下：

1） 假设系统正常运行一段时间后发生单相接地故障，并在故障发生后进入新的稳态。

2） 认为正常运行状态下和发生单相接地故障时的PMU量测的不同步角度是相同的。

3） 进行零序参数辨识之前，获取系统正常运行时线路两端PMU数据，并按照2.2节所述内容完成正序参数的辨识以及不同步角度的求解。

结合上述说明可知，对于输电线路的零序参数辨识来说，输电线路的正序参数以及不同步角度均为已知量。

当输电线路发生单相接地故障时，输电线路的正序等效电路如图3所示。

图3中，电压、电流相量下标的第1个数字1和2分别代表线路首端和线路末端，电压、电流相量下标的第2个数字为序标识（1代表正序，2代表负序，0代表零序）。

根据基尔霍夫定律分别从线路首端和末端推至故障点处的正序电压相同，可以得到：

式中：和代表以PMU获取和的时间为基准并经过同步处理后的线路首端电压和电流相量；m为线路首端至故障点处的故障距离；l为输电线路长度；z1、y1分别为线路单位长度正序阻抗和正序电纳。

线路单位长度正序阻抗z1和单位长度正序电纳y1与线路单位长度的正序电阻r1、电感L1以及电容C1之间的关系为

由于式（14）中仅存在1个未知量，即故障距离m，因此求解式（14）便可得到故障距离m。

除了可利用故障时正序网络求故障距离m外，还可根据负序网络求故障距离m。将图3中代表序标识的数字改为2，即可得到负序等效电路图。由于输电线路的负序参数与正序参数往往是相同的，用正序参数来代替负序参数[30-31]。

根据负序等效电路，并参考式（14），得到以故障距离m为未知量的方程为

考虑到序网络参数以及可能存在的量测误差，最终故障距离m取为式（14）和式（16）计算结果的平均值：

式中：m1为按照正序网络计算得出的故障距离；m2为按照负序网络计算得出的故障距离。

求解出故障距离m后，对单相故障下的零序等效电路进行分析。发生单相故障时零序等效电路如图4所示。图中，z0、y0分别为线路单位长度零序阻抗和零序电纳。

线路单位长度零序阻抗z0和单位长度零序电纳y0与线路单位长度的零序电阻r0、电感L0以及电容C0之间的关系为

根据基尔霍夫定律从线路首端和末端推至故障点处的零序电压相同，故满足：

由于仅在输电线路两端装设了PMU装置，无法直接通过量测装置获取流入故障点的零序电流IF0。此外，线路零序参数的未知导致无法直接利用零序等效电路实现零序电流的求解。但是，线路发生单相接地故障时，流入故障点的正序电流、负序电流以及零序电流满足如下关系：

在线路的正序参数以及故障距离已知的情况下，流入故障点的正序电流和负序电流可以表示为

同样，考虑到序网络参数以及可能存在的量测误差，最终流入故障点的零序电流取为式（21）解得的流入故障点的正序电流与负序电流的平均值。此外，流入故障点的零序电流与线路零序参数之间的关系为

将式（18）代入式（19）和式（22），并对式（19）和式（22）进行实虚部分解，得到以零序参数（r0、L0和C0）为未知量的三元非线性方程组，求解该方程组即可完成零序参数的辨识。

综上所述，在单相接地/经过渡电阻接地故障的情况下，首先可以根据系统发生单相接地/经过渡电阻接地故障时的正序、负序网络，并以正序参数和不同步角度为已知量，求解出故障距离。然后，根据单相接地或经过渡电阻接地故障情况下的零序网络，以零序参数为未知量，构建关于故障点零序电压以及流入故障点的方程。最后，求解该方程完成输电线路零序参数的辨识。

2.4 PMU数据不同步时的输电线路正序以及零序参数辨识方法流程

2.2和2.3节分别阐明了PMU数据不同步情况下的输电线路正序以及零序参数辨识方法。基于上述内容，得到本文所提参数辨识流程如图5所示。

3 Levenberg-Marquardt（L-M）算法

由于正序参数辨识方程式 （10） 和零序参数辨识方程式 （19） 与式 （22） 均为非线性方程，而且无法通过现有的数学方法实现待辨识量的解耦。因此，不能用直接方法求线路参数的精确值。目前，对于非线性方程的处理多采用迭代法求近似解[32]。在现有的迭代方法中，L-M算法兼顾了牛顿法和梯度下降法的优点，具备收敛速度快、对初值不敏感等优势。因此，本文利用L-M算法求解参数辨识方程。

对于如下的非线性方程组：

其中，

L-M算法的求解模型为

将f(x)在x(n)处泰勒展开，得到：

每次进行迭代时Δx的表达式为

式中：J(x)(n)为F(x)在x(n)处的雅可比矩阵；µ为恒大于零的阻尼系数；I为单位矩阵。

由式 （27） 可知，阻尼系数µ的存在保证了J(x(n))TJ(x(n))+µI 的正定，即每次迭代均朝着梯度下降的方向进行。

阻尼系数µ的调整策略与增益率ρ有关，增益率ρ为

式中：M(0)-M(Δx)表示一阶泰勒近似展开式经历了Δx后的变化情况。

如果增益率ρ大于零，说明真实函数与一阶泰勒近似展开较为接近，接受本次迭代的同时应减小阻尼系数。阻尼系数µ和参数v调整为

如果增益率ρ小于零，说明真实函数与一阶泰勒近似展开相差较大，拒绝本次迭代的同时应增大阻尼系数。阻尼系数µ和参数v调整为

综上所述，L-M算法的求解流程如下。

1） 初始化：给定变量初始值x(0)，迭代精度ε、初始阻尼系数µ(0)、参数v(0)以及迭代次数k。

2） 根据式 （27） 求解本次迭代增量Δx，进而得出x(k+1)并计算minxF(x(k+1))。

3） 若minxF(x(k+1))≤ε或达到最大迭代次数j，则最优解x=x(k+1)，迭代结束；否则进行下一步。

4） 依据Δx计算增益率ρ，若ρ大于零，则令x=x(k+1)并根据式（29）调整阻尼系数和参数，得到µ(k+1)和v(k+1)；若ρ小于零，则令x=x(k)并根据式（30）调整阻尼系数和参数，得到µ(k+1)和v(k+1)。

5）令k=k+1，重复步骤2）。

4 仿真验证

为了说明本文所提PMU数据不同步情况下的输电线路正序以及零序参数辨识方法的准确性，本章利用MATLAB仿真平台对所提方法进行验证，并与现有文献[10]所提算法的参数辨识方法进行了对比。

4.1 仿真模型及线路参数

在MATLAB中搭建如图6所示的110 kV线路长为100 km的单回双端供电系统。该系统中输电线路正序参数为r1 = 0.012 73 Ω/km，L1=0.934 00 mH/km，C1 = 12.740 00nF/km。输电线路零序参数为r0 =0.386 4 Ω/km，L0 = 4.126 4 mH/km，C0 = 7.751 nF/km。

4.2 仿真结果与分析

在仿真过程中设置不同步角度δ分别为2°、5°和10°。系统正常运行时，利用PMU装置获取系统线路首末两端有功、无功功率、首端电压幅值以及末端电压相量用于输电线路正序参数以及不同步角度的辨识。系统发生单相接地故障时，利用PMU装置获取线路首末两端正序、负序以及零序的电压和电流相量用于输电线路零序参数的辨识。

1） 输电线路正序参数的辨识。

本文所提方法与文献[10]所提方法的参数辨识结果如表2所示。由表2可知，文献[10]所提方法在不同步角度变化的情况下，辨识出的线路正序参数与真实值之间的绝对误差很大，参数辨识结果极易受不同步角度的影响。而本文所提方法在不同步角度变化的情况下仍能较为准确地辨识输电线路的正序参数。其原因在于，本文方法在辨识正序参数的过程中将不同步角度δ视为未知量。此外本文所提方法利用不受不同步角度影响的功率量构建正序参数辨识方程，进而在双端数据不同步的情况下实现了正序参数辨识。

2） 输电线路零序参数的辨识。

辨识正序参数后，可以得到输电线路的正序参数以及不同步角度。得到不同步角度δ后，首先对PMU装置获取的单相接地故障情况下的线路首末两端正序、负序、零序电压和电流相量进行同步处理，然后进行故障距离的计算，最后辨识输电线路的零序参数。表3给出了不同步角度为2°时，不同过渡电阻以及不同故障位置下的零序参数辨识结果。

由表3可知，本文所提方法在不同故障位置以及不同过渡电阻情况下均能有效辨识输电线路的零序参数。过渡电阻不大于50 Ω时，零序参数的辨识精确较高。而当过渡电阻大于50 Ω时，零序参数的辨识误差明显增大。这是因为当过渡电阻大于50 Ω时计算出的故障距离与实际故障距离之间的误差较大，较大的故障距离误差恶化了零序参数的辨识精度。但是，在不同故障位置以及不同过渡电阻情况下，本文所提方法求解出的故障距离误差小于3%，零序参数的辨识误差小于5%，测距误差以及参数辨识误差均在工程允许的范围内[33-34]。因此，本文所提故障距离以及零序参数辨识方法具有良好的精确性和适用性。

4.3 噪声的存在对所提算法的影响

考虑到真实电力系统中利用PMU获取量测数据时不可避免会受到噪声的影响。量测噪声的存在会影响参数辨识结果。为了说明噪声的存在对所提参数辨识方法的影响，此处在真实数据中加入了均值为0，标准偏差为0.1%和0.5%的呈现正态分布的噪声。在不同步角度为2°时，不同噪声情况下输电线路正序参数辨识结果如表4所示。

由表4可知，当噪声强度增强时，参数辨识结果误差会变大。这是因为进行正序参数辨识时将不同步角度当成了未知量，噪声强度增强时不同步角度辨识误差增大，不同步角度误差的增大恶化了正序参数辨识误差。但是在所设置的噪声强度下，正序参数辨识误差不超过5%，说明所提参数辨识方法在一定的噪声强度下具有较好的适用性。

4.4 T接线路下所提算法有效性验证

为了进一步支撑所提算法的有效性，此处对图7所示的T接线路进行正序参数的辨识。

以M侧采集数据的时间为参考，N侧采集数据相对于M侧采集数据的不同步角度为δ1，P侧采集数据相对于M侧采集数据的不同步角度为δ2。按照式 （9） 可分别写出M、N、P侧以及T节点的功率方程。与单回双端输电线路不同的是T节点处未安装PMU装置，因此T节点处的幅值和相角信息未知。对于T节点处未知的幅值和相角信息的处理考虑了2种方法：①只利用单端推至T节点的电压（从M端推至T节点或从N端推至T节点或从P端推至T节点）；②采用M、N、P三端推至T节点的电压之和的平均值。

下面对这2种方法进行分析：

若采用方法①中的从N端推至T节点或从P端推至T节点，则T节点处的幅值和相角必然与不同步角度δ1或δ2相关，且关系式复杂存在求解困难的问题。此外，若不同步角度辨识出现较大误差的话，T节点处的幅值和相角量也会较大地偏离真实值。

若采用方法②则T节点处的幅值和相角量与不同步角度δ1、δ2以及M、N、P侧的量测量相关，关系式更为复杂，而且若不同步角度辨识出现较大误差，T节点处的幅值和相角量也会较大地偏离真实值。

由于PMU量测出现不同步时是以M端采样时间为基础的，即认为M端数据是同步时。若采用①中的M端推至T节点的处理方法，T节点处的幅值和相角量仅与M端数据有关，不会存在与不同步角度耦合的情况。因此，T节点处未知的幅值和相角信息采用通过M端推至T点获得的处理方法。

通过上述的处理，依照单回双端线路正序参数辨识思路构建并利用L-M算法求解以正序参数以及不同步角度未知量的M、N、P以及T节点功率方程。在PMU数据不同步情况下，T接线路正序参数辨识结果如表5所示。

由表5可知，所提算法能够较为准确地辨识T接线路正序参数，说明所提算法在T接线路下仍具备较好的适用性，进一步验证了所提算法在不同场景下的有效性。

5 结论

本文在推导线路的集中和分布参数模型与线路单位阻抗和导纳对应关系的基础上，通过仿真分析110 kV电压等级下线路模型的长度适用范围，并以此为依据选择参数辨识的输电线路模型。

在选定输电线路为集中参数模型基础上，在系统正常运行情况下构建正序参数辨识方程，在单相故障情况下构建零序参数辨识方程，进而实现了输电线路的正序和零序参数的辨识。本文所提参数辨识方法具有以下优点：

1） 所提方法能够在PMU数据不同步情况下较为准确地辨识正序以及零序参数。

2） 辨识正序参数的同时求解出不同步角度。不同步角度的求解无须借助线路参数，求解方法易于实现。

3） 辨识零序参数的同时求解出故障距离。仿真结果表明，零序参数辨识结果以及故障测距结果在故障位置和过渡电阻变化的情况下均具备良好的精确性。

4）所提算法不仅能够在单回双端线路下进行参数辨识，而且对于T接线路的参数辨识问题也具备较好的适用性。