0 引言

近年来，以风电、光伏为代表的新能源在中国蓬勃发展。截至2023年底，中国风电、光伏装机容量分别达到4.4亿kW、6.1亿kW，合计占全国发电装机容量的36%，预计2030年新能源总装机将超过12亿kW[1]。随着新能源规模及占比的不断提升，其出力的间歇性、波动性和不确定性导致系统灵活调节能力需求剧增[2]。水电作为一种灵活调节电源，可以有效平抑新能源出力波动，促进新能源并网消纳[3-4]。2022年3月，国家能源局印发《关于开展全国主要流域可再生能源一体化规划研究工作有关事项的通知》，要求依托主要流域水电开发，充分利用水电灵活调节能力，在合理范围内配套建设一定规模的以风电和光伏为主的新能源发电项目，建设可再生能源一体化综合开发基地[5]。因此，充分发挥水电灵活性，开展水风光协同规划，对推动中国新能源大规模、高质量发展和能源结构低碳转型至关重要。

国内外许多学者针对水风光协同规划问题开展了相关研究。文献[6]以龙羊峡水电站为例，重点考虑水光互补运行对水资源系统的影响，构建了成本-效益分析模型，开展光伏装机容量规划。文献[7]以最大化水电和光伏消纳电量为目标，提出了考虑径流、光伏出力随机性的双层嵌套规划模型，确定与Naijili水电站互补运行的光伏最优规模。文献[8]提出了基于动态规划的分析框架，评估了未来不同电力需求情景下加纳Akosombo水电站支持当地风电、光伏并网的潜力。但是，上述研究侧重厂站级水电与新能源协同规划，没有考虑梯级水力联系对水电调节能力和新能源消纳的影响。文献[9]介绍了一种可靠性评估方法，利用水电灵活调节能力，分析在一定置信水平下水电对促进风电消纳的作用，该模型在赞比西河流域水风互补规划中得到了成功应用。文献[10]以瑞典水电系统为例，研究了电力市场中水风协同规划运行对风电市场价值和市场收益的提升作用。文献[11]提出了考虑输电约束和梯级水电综合利用约束的大型水风光混合发电系统容量规划模型，得到了基于互补保证率的电源装机最优规划方案。上述研究属于流域级水电与新能源互补规划，虽然考虑了梯级水力联系，但是缺少对水电振动区约束的关注。

在水电机组运行过程中，由于管道内水流量、压力、流动状态等不断发生变化，机组普遍存在振动区现象[12]。当在振动区中运行时，机组会剧烈振动，损害结构稳定性，影响机组安全运行。因此，水电机组在运行过程中需要避开振动区。目前，相关研究仅在水电短期发电调度中关注振动区[13-15]，在水电与新能源规划领域鲜有考虑振动区的影响。由于振动区占机组出力调节范围较大，甚至超过60%，在水风光协同规划中若不考虑振动区对水电调节能力的影响，将产生较大误差，影响规划方案的经济性和可行性。

基于上述分析，本文提出了一种考虑水电振动区的水风光协同规划模型。首先，利用组合数学技术将机组振动区转换为电站振动区，避免在计算过程中频繁进行机组组合。然后，综合考虑梯级水力联系约束、水力发电方程、水头约束、特征曲线约束等各项约束，实现对水电系统的准确建模。其次，以系统投资运行成本最小为目标，耦合水电系统与新能源、联络线等相关约束构建水风光协同规划模型。为了提高计算效率，采用线性化技术消除模型中的非线性，并用混合整数线性规划进行求解。最后，以乌江流域某水风光互补发电系统为对象，验证所提模型的有效性。

1 考虑振动区的水电系统建模

水电出力调节灵活、迅速，能较好地适应风电、光伏出力波动引起的净负荷变化，满足系统电力电量平衡需求。水风光协同规划的关键之一在于对水力发电系统准确建模，用以评估水电可支撑并网的新能源最优容量。

本章首先介绍振动区建模方法，然后综合考虑其他各项约束，实现对水电系统的准确建模。

1.1 振动区约束

振动区是水电机组在运行过程中应该避开的出力区域，否则会影响机组运行寿命和电站厂房安全。以应用较为广泛的混流式水轮机为例，这类机组通常存在一个或多个振动区，且振动区范围随水头动态变化[16]。图1为某立轴混流式水轮发电机组的振动区示意图。该机组额定容量为250 MW，当电站水头处于112～129 m范围内时，机组存在两个振动区，合计占据机组出力空间的一半以上，严重影响水电调节能力发挥。因此，对水电系统建模时，振动区的影响不容忽视。

本文基于组合数学理论，利用集合运算对振动区进行建模，总体思路为“先并集、再补集、又并集、最后补集”。建模流程见图2，具体过程如下。

步骤1：机组振动区表示。假设水电站i包括M台机组，对于其中任意一台机组m，其出力下限、上限分别为、，则机组m、电站i的出力空间可分别表示为

式中：Pi、Pi,m分别表示电站i、机组m的出力空间。

在给定水头Hi下，机组m的振动区可以用集合并集表示为

式中：Vi,m、VZ,i,m分别为电站i机组m的振动区集合、振动区个数；vz为振动区编号；(Hi)、(Hi)分别为电站i机组m在水头Hi的情况下，振动区vz的下界和上界。

步骤2：机组可行出力域表示。机组的可行出力域被振动区分隔为多个离散子区间，可用补集运算表示为

式中：Ri,m为电站i机组m的可行出力域。

根据补集运算规则可知，Ri,m为多个离散区间的并集，可进一步表示为[13]

式中：vp为可行出力区间编号；VP,i,m为Ri,m中可行出力区间的个数；(Hi)、(Hi)分别为电站i机组m在水头Hi的情况下，可行出力区vp的下界和上界。

步骤3：机组可行出力域组合。将机组可行出力域通过并集运算进行组合。以任意两台机组m和m′为例，其组合后的可行出力域为

式中：ϕ(Ri,m,Ri,m′)表示机组m和m′可行出力域的组合函数。

步骤4：电站可行出力域表示。电站i共有M台机组，其可行出力域可以通过机组可行出力域两两组合迭代得到，如下式所示：

式中：Ri为电站i的可行出力域。在式 （8） 中，共需进行（M-1）次函数运算。

步骤5：电站振动区表示。电站振动区可通过补集运算得到，如下式所示：

式中：Vi为水电站i的振动区。

式（9）可进一步表示为

式中：k为电站振动区编号；VZ,i为电站i的振动区个数；、分别为电站i振动区k的下界和上界。

需要注意的是，式 （10） 仅是在水头Hi下的电站振动区。遍历所有水头取值，重复步骤1至步骤5即可得到不同水头下的电站振动区。

步骤6：电站振动区约束表示。在水头Hi下，电站出力需避开振动区，约束表达式如下[13]：

式中：PH,i为电站i的出力。

1.2 其他约束

对于梯级水电系统，除振动区约束外，水力联系约束、水力发电方程、特征曲线约束等约束在水电运行过程中也至关重要。

1.2.1 梯级水力联系约束

式中：i、t分别为电站序号、时段序号；、Bi,t分别为电站i时段t的入库流量、区间流量，m3/s；为电站（i-1）时段t的出库流量，m3/s；电站 （i-1）为电站i的上游电站。

1.2.2 水量平衡方程

式中：Si,t为电站i时段t的库容，m3；∆t为时段步长，h。

1.2.3 水位约束

式中：Zi,t为电站i时段t的坝上水位，m；、分别为电站i时段t的水位下限、水位上限，m；、分别为电站i时段初、末水位，m；T为时段数。

1.2.4 水位-库容关系约束

式中：ai,0、ai,1、ai,2、ai,3、ai,4分别为电站i的水位-库容关系式的各阶系数。

1.2.5 流量约束

式中：、分别为电站i时段t的发电流量、未利用的水流量，m3/s；、分别为电站i时段t的出库流量下限、上限，m3/s。

1.2.6 尾水位-出库流量关系约束

式中：bi,0、bi,1、bi,2、bi,3、bi,4分别为电站i的尾水位-出库流量关系式的各阶系数；ZT,i,t为电站i时段t的尾水位，m。

1.2.7 水头约束

式中：Hi,t为电站i时段t的净水头，m；Hiloss为电站i的固定水头损失，m。

1.2.8 水力发电方程

式中：PH,i,t为电站i时段t的出力，MW；ηi为电站i的综合出力系数。

1.2.9 出力约束

式中：、分别为电站i时段t的出力下限、出力上限，MW。

1.2.10 电量约束

式中：Ei为电站i的电量下限，MWh。

2 水风光协同规划模型

水风光协同规划是在统筹考虑水电调节能力、新能源资源禀赋、输电通道容量、电力负荷需求等因素的基础上，合理规划风电、光伏装机规模，保障电力系统经济可靠运行[17-18]。

本文提出的水风光协同规划模型聚焦高效利用水电调节能力及输电通道，优化风电、光伏装机及水风光互补运行过程。模型中，参与优化的水电站均为在运水电站，每个水电站近区规划建设风电站、光伏电站各一座。规划模型以h为步长，开展水平年内8760 h逐时段生产运行模拟。

2.1 目标函数

模型以系统投资及运行成本之和最小为目标，成本包括风电、光伏投资成本及系统切负荷惩罚成本。目标函数如下式所示[19-20]：

式中：vw、mw分别为单位容量风电的年化投资成本、运维成本，元/MW；vs、ms分别为单位容量光伏的年化投资成本、运维成本，元/MW；、分别为风电站i、光伏电站i的规划装机容量，MW；mloss为切负荷惩罚成本，元/MW；为系统在时段t的切负荷值，MW；I为水电站数目。

2.2 约束条件

2.2.1 电力平衡约束

式中：PW,i,t、PV,i,t分别为风电站i、光伏电站i在时段t的出力，MW；Dt为系统在时段t的电力负荷需求，MW。

2.2.2 联络线约束

式中：、分别为水电站i配套联络线在时段t的最小、最大输送功率，MW。

2.2.3 风电光伏出力约束

式中：、分别为风电站i、光伏电站i在时段t的出力特性标幺值。

2.2.4 新能源利用率约束

式中：δ为新能源综合利用率下限。

2.2.5 水电系统约束

见式 （11） 至（21）。

3 求解方法

水风光协同规划模型是一个大规模非凸非线性问题，涉及上万个约束和决策变量，难以在较短时间内求得全局最优解[21-22]。线性规划是一种研究线性约束条件下线性目标函数极值问题的经典数学规划方法，具有计算效率高、收敛快等优点，适用于求解大规模优化问题[23]。

本文采用分段线性化技术消除模型中的非线性，并用混合整数线性规划进行求解。需要说明的是，分段线性化技术会引入计算误差，其精度与分段数成正比，而计算效率与分段数成反比。因此，本文在满足精度的前提下，尽量减少分段数，以提高计算效率。

3.1 振动区约束线性化

式（11）表示的振动区约束是二次非线性不等式约束，本文通过引入整数变量和分区间近似对其进行线性化处理。

3.1.1 电站水头离散

不同水头下的电站振动区范围不同。假设电站i水头范围为，其中、分别为电站i的最小水头、最大水头。将其划分为HN,i个连续子区间，分别为，其中

对于水头Hi,t，通过引入整数变量ζi,t,h，其所属水头区间可表示为

式中：ζi,t,h为0-1整数变量。当水头处于区间h，即时，ζi,t,h=1，否则ζi,t,h=0。

3.1.2 水头关联振动区

水头区间离散后，在每个水头区间内，选定一组不随水头变化的区域代表整个区间内所有水头对应的振动区，此过程称为“水头关联振动区”。

本文将每个水头区间内的振动区近似为“矩形”振动区，如图3所示。在水头区间h内，近似处理后的振动区数学表达式如下：

式中：为处理后的电站振动区；表示水头为时，电站i振动区k的原始下界；表示水头为时，电站i振动区k的原始上界。

对振动区进行矩形近似化处理的优点在于：①方便后续对振动区的线性化表示；②近似后的矩形振动区完全覆盖原始振动区，确保电站出力不会落入振动区，保障电站安全运行。

3.1.3 振动区约束线性化表示

通过引入整数变量ξi,t,w，振动区约束的线性化表达式如下：

式中：ξi,t,w为0-1整数变量，ξi,t,w=1表示电站i在时段t的出力处于第w个可行出力区，否则ξi,t,w=0。

3.2 其他约束线性化

除振动区约束外，模型中其他非线性约束还包括水位-库容关系约束、尾水位-出库流量关系约束、水力发电方程。

水位-库容关系约束、尾水位-出库流量关系约束均为四次多项式函数形式，采用文献[24-25]中的分段线性方法线性逼近以上两种非线性关系。以水位-库容关系约束为例，线性化表达式如下：

式中：vw、VW,i分别表示电站i的库容区间离散编号、离散数目；χi,t,vw为0-1整数变量，χi,t,vw=1表示电站i在时段t的库容处于第vw个库容区间，χi,t,vw=0与之相反；分别表示电站i第vw个库容区间右端点值及其对应的坝上水位，m3、m；Val,i,t,vw为电站i时段t第vw个库容区间内的库容值，m3。

水力发电方程是表示电站出力与发电流量、水头之间非线性关系的二元约束。[16,26]中的线性化方法线性逼近以上非线性关系，表达式如下：

式中：vh、VH,i分别表示电站i的水头区间离散编号、离散数目；πi,t,vw为0-1整数变量，πi,t,vw=1表示电站i在时段t的水头处于第vh个水头区间，πi,t,vw=0与之相反；、kh,i,vh、bh,i,vh分别为电站i第vh个水头区间的右端点值、出力曲线斜率、截距。

3.3 求解流程

基于上述线性化方法，水风光协同规划模型中的非线性约束被转换为带整数变量的线性约束，调用数学优化求解器GUROBI对模型进行求解。

总体求解框架如图4所示，详细步骤如下。

步骤1：水电系统约束建模。基于组合数学理论利用集合运算对振动区进行建模，见式 （1） 至 （11）。在此基础上，综合考虑水力联系、水力发电方程、特征曲线等各项约束（式 （12） 至 （21） ），实现对水电系统的准确建模。

步骤2：水风光协同规划模型构建。以系统投资及运行成本之和最小为目标，综合考虑水电系统约束、电力平衡约束、联络线约束、风光出力约束、新能源利用率约束等，构建水风光协同规划模型，优化风电、光伏装机规模及水风光协同运行过程。

步骤3：约束线性化。采用线性化方法，将模型中的非线性约束进行线性化。非线性约束包括振动区约束、水力发电方程、水位-库容关系约束、尾水位-出库流量关系约束。

步骤4：线性化转换后的模型是以式 （22） 为目标函数，以式 （12）至（14）、（16）、（18）、（20）至 （21）、（23）至（35） 为约束条件的混合整数线性规划模型，调用数学优化求解器GUROBI对模型进行求解。

4 算例分析

乌江是长江上游南岸最大的支流，发源于贵州西部，横贯贵州中部及东北部，最后于重庆涪陵汇入长江。乌江流域水能资源丰富，理论蕴藏量10 220 MW，目前已投产梯级水电8670 MW，且调节性能整体较好，是中国十三大水电基地之一[27]。乌江流域新能源资源同样富集，干流近区200 km内风电、光伏技术可开发量分别为5240 MW、102 220 MW，开发潜力巨大。

选取乌江流域干流上的洪家渡、东风、索风营三座水电站为工程背景，开展水风光协同规划研究。梯级水电拓扑结构见图5。水电站特征参数见表1。机组振动区情况见图6。风电、光伏标幺值出力特性曲线见图7。

数据输入方面，水电站来水取多年平均区间流量；水电站发电量下限取多年平均发电量；负荷需求取2019年历史数据；新能源综合利用率下限δ取90%；风电、光伏投资运维成本参数vw、mw、vs、ms分别取值6.5×106、4.15×104、3.6×106、4×104；切负荷惩罚成本mloss取值1×108。

4.1 振动区组合分析

图8为不同水头下机组振动区组合结果。由图可知，相比机组振动区占机组容量的比例，组合后电站振动区占电站装机比例大幅减小。水电站在运行过程中可以通过机组振动区组合，避开振动区运行。

表2为洪家渡、东风、索风营在设计水头下的机组振动区组合情况。分析如下。

洪家渡三台机组类型一致， #1～#3机组的振动区完全相同。就单一机组而言，组合前机组振动区包含（0，35）、（75，140）两个区间，占机组额定容量的50%；组合后，单机振动区间（75，140）可通过优化机组组合避开，使得电站振动区仅包含 （0，35）一个区间，占电站装机容量的6%。举例说明，假设洪家渡电站计划出力值为80 MW，若只开一台机组，则机组将处于振动区内运行；若根据振动区组合结果开两台机组，单机出力各40 MW，则所有机组均可避开振动区运行。

东风电站包含四台机组，其中#1～#3机组类型一致，机组振动区为（0，90） MW，#4机组振动区为（0，80） MW，分别占机组额定容量的47%、64%。机组组合后，电站振动区为（0，80）MW，占电站装机容量的12%。

索风营三台机组振动区相同，为（0，130）MW，占机组额定容量的65%。机组组合后，电站振动区为（0，130）MW，占电站装机容量的22%。

基于上述分析可得：①水电机组振动区对机组出力调节范围有较大影响，机组振动区约占机组额定容量的50%，甚至更多；②通过机组组合，可显著降低机组振动区对电站出力范围的影响；③索风营的振动区受限问题较为显著，东风次之，洪家渡振动区受限最小。

4.2 计算情景设置

为分析振动区对水风光协同规划的影响，设置以下三个情景。

情景一：考虑振动区约束，开展水风光协同规划，优化风光装机规模及水风光运行过程。

情景二：不考虑振动区约束，开展水风光协同规划，优化风光装机规模及水风光运行过程。

情景三：基于情景二所得风光装机规划结果，以水风光消纳电量最大为目标，考虑振动区约束，开展水风光生产运行模拟。

基于上述情景设置，首先，测算情景一、情景二下的风光装机规模，分析振动区对风光装机规模的影响；然后，为分析振动区对风光消纳的影响，增加情景三作为对照，比较情景一、情景二、情景三下的新能源消纳情况；其次，比较情景一、情景二下水电运行过程中的振动区避开情况，分析振动区对水电运行安全性的影响；最后，以情景一为例，分析水风光互补运行情况。

4.3 新能源装机规模分析

表3展示了情景一、情景二下水电站可支撑新能源并网的装机容量。

从新能源装机总规模来看，情景一下，三座水电站合计可支撑新能源规模为2915 MW，其中风电、光伏装机分别为1073 MW、1842 MW，水风光装机配比近似为1∶0.6∶1。情景二下，新能源总装机规模为3505 MW，比情景一多20%。原因在于，情景二未考虑振动区，对水电灵活性建模不准确，水电可调出力包含了处于振动区中的不可行域，略微夸大了水电灵活调节能力，导致水电支撑并网的新能源规模偏大。

从风电光伏装机来看，不同情景下的光伏规模均大于风电规模。原因在于，光伏的单位投资、运维成本低于风电，优化过程中会优先配置光伏，以改善系统经济性。

分电站来看，不同水电站支撑的风电、光伏规模均不同，且与电站调节性能呈正相关、与振动区大小呈负相关。洪家渡的调节性能最好，为年调节，且振动区占装机比例最小，为6%。相应地，考虑振动区时，洪家渡可支撑的风电、光伏规模分别为478 MW、803 MW，水风光装机配比近似为1∶0.8∶1.3，大于东风、索风营可支撑的新能源装机配比。东风电站的调节性能为季调节，振动区占装机比例为12%，水风光装机配比近似为1∶0.6∶0.9，优于索风营电站。

4.4 新能源消纳情况分析

表4为不同情景下的新能源消纳利用情况。可以看出，三种情景下，水电电量均为51.4 MWh，等于设置的电量下限，表明水电为新能源消纳让出电量空间，发挥了容量调节作用。

情景一和情景二条件下，新能源综合利用率均等于设置的利用率下限，即90%。原因在于，目标函数中的切负荷惩罚成本远大于新能源投资、运维成本，所以优化过程中系统优先增加新能源装机，减少切负荷，直至新能源电量难以被消纳，达到利用率下限。

与情景二相比，情景三新能源消纳电量减少了5.7亿kWh，新能源利用率由90%降至79%。与情景一相比，情景三新能源装机增量为590 MW，消纳电量实际增量为2.9亿kWh，则新能源增量装机的实际利用率仅为30%。

综上，在水风光协同规划中若不考虑振动区约束，所得优化后的新能源装机规模偏大，新能源电量在实际运行中难以消纳，导致利用率严重偏低，不利于系统经济性。

4.5 振动区避开情况分析

选择汛期、枯期典型日，比较情景一和情景二条件下的水电运行过程，分析电站振动区避开情况。然后，统计分析情景二条件下水电站在振动区内运行时段数的全年分布。

汛期典型日，不同情景下各水电站出力过程如图9所示。情景一下，由于模型考虑了振动区约束，各电站均在振动区外运行。情景二下，洪家渡、东风、索风营在振动区内运行的时段数分别为1、0、3。洪家渡电站19时出力为33.7 MW，处于振动区内。东风电站日负荷率较高，全天均在振动区以外运行。索风营电站出力波动较大，全天有3个时段处于振动区范围内运行，分别为2时、4时、7时。

在枯期典型日，不同情景下各水电站出力曲线如图10所示。情景一下，各电站均在振动区外运行。情景二下，洪家渡、东风、索风营在振动区内运行的时段数分别为2、3、5。相比汛期典型日，枯期典型日内若不考虑振动区约束，水电站由于出力水平较低，更容易落入振动区运行，不利于安全运行。

全年来看，情景二下，各水电站在振动区内运行时段数的逐月分布情况如图11所示。在一年8760个时段中，洪家渡、东风、索风营在振动区中运行的时段数分别为68、183、522，发生概率分别为0.78%、2.1%、5.96%。索风营电站落入振动区的时段数最多，原因在于索风营的振动区占电站装机比例较大，导致电站可行出力范围较小，容易落入振动区。另外，水电站在枯期更容易落入振动区运行，汛、枯期振动区内运行时段数分别为208、565，比例为1∶2.7。

综上，情景一下，由于考虑了振动区约束，各水电站全年均避开振动区运行；情景二下，由于未考虑振动区，各电站存在一定概率在振动区内运行，且枯期较为严重，影响电站运行的安全性。

4.6 水风光互补运行分析

4.6.1 年内互补运行

图12所示为情景一下乌江流域水风光互补系统年内出力过程。

从年内出力互补性来看，水电出力在汛期较大，从3月至10月呈逐步抬升的趋势；风电出力季节性显著，5月达到最大值，从5月至11月呈逐步降低的趋势，水电、风电具有较好的季节互补性；光伏出力在冬季较大，年内各月差异较小，与水电、风电互补性稍弱。

在各月电量平衡方面，水电与风光互补运行后，汛期不存在切负荷，可完全满足系统电量需求，春冬季节存在较大电量缺口。原因在于，汛期已无电量消纳空间且新能源利用率已达到下限，此时新能源规模达到最大值，无法通过扩大新能源规模来满足枯期电量缺口。

4.6.2 日内互补运行

情景一条件下，乌江流域水风光互补系统汛期、枯期典型日出力过程如图13所示。

汛期典型日，水电负荷率较高，实际利用率低。在光伏大发的中午时段，水电适当压低出力，促进光伏消纳；夜间，光伏出力降为0，风电出力较大，水电增大出力，配合风电实现系统电力电量平衡。

枯期典型日，水电负荷率较低，调节能力较强。中午光伏大发时段，水电利用调节库容，蓄水不发电，将出力降至0，为消纳光伏留出电量空间。夜间，风电大发且波动较大，水电发挥灵活性，平抑风电出力波动。由于枯期水电发电能力受限，因此系统仅在午后光伏大发的时段满足电力平衡，在其他时段存在切负荷。

5 结论

振动区在中国大中型水电站运行过程中普遍存在，影响水电运行的灵活性和安全性，在水风光协同规划中不容忽略。为此，本文提出了一种考虑水电振动区的水风光协同规划模型。该模型首先利用组合数学的方式将机组振动区约束转换为电站振动区约束；然后，在考虑水力联系约束、水库特征曲线约束、水力发电方程约束的基础上，对水力发电系统进行建模；最后，耦合水力发电系统与新能源、联络线相关运行约束构建水风光协同规划模型，并用线性化技术和混合整数线性规划求解模型。本文通过对乌江干流三座大型水电站开展水风光规划研究，得出如下结论。

1） 振动区严重影响水电机组及电站的灵活性。部分机组的振动区占机组额定容量的比例超过50%，组合后部分电站的振动区占电站装机容量的比例超过20%。

2） 在水风光协同规划中考虑振动区有利于对水电灵活性进行准确建模，提高水电运行安全性及新能源利用率，得到经济、可行的新能源装机规划方案。