0 引言

碳达峰、碳中和目标正在驱动着风、光等清洁能源快速发展。由于风、光资源的间歇性与波动性，以新能源为主体的新型电力系统对运行方式灵活适应的需求增加[1-2]。如何改进电力系统优化调度方法、增强系统运行灵活性，是迫切需要解决的问题[3]。

研究中，可再生能源与负荷等随机因素的处理方式主要分为随机优化、鲁棒优化、分布鲁棒优化与多层组合，目前利用随机优化[4]与鲁棒优化[5-6]进行电力系统灵活性特征研究的文献较多。近期对电力系统实时调度中灵活性需求的研究，多采用随机优化以及其组合方法。文献[7]基于多场景随机优化与动态优化方法，构建不同电源的灵活性服务模型，在实时调度中考虑灵活性服务的管理。文献[8]在电源规划中考虑短时间尺度的灵活性需求，采用随机优化方法求解灵活性电源的合理配置。文献[9]采用随机优化方法求解不同场景的电力系统灵活性需求，在实时调度中按照伯恩斯坦多项式理论选择日前调度的某一场景的基准值。目前，电力系统实时鲁棒调度主要利用鲁棒优化对不确定性的处理简单、计算高效等特点。文献[10]计及扰动后不平衡功率的再分配过程，构建电力系统多目标实时调度模型，利用线性化手段和鲁棒优化方法提高了模型的实用性。文献[11]引入了动态不确定性集的概念和方法，对不确定性的时空相关性进行建模，提出一种多时段经济调度的自适应鲁棒优化模型。文献[12]采用两阶段鲁棒优化方法求解多时间尺度的微电网优化问题，实现满足最恶劣场景的实时经济调度目标。

随机规划通常假定随机变量随机特性已知，并采取多场景的方法模拟，假设的随机特性可能与真实特性存在偏差，因此随机规划可能低估风险。传统鲁棒优化不需要随机变量的概率分布，只需要构建包含随机变量的所有可能取值的不确定集，但是为保证任何场景下决策均可行，传统鲁棒优化一般都过于保守。尽管存在用场景削减[13]以及不确定集预算值[14]等方法来改进随机优化与鲁棒优化方法，这2种方法的缺点依旧无法避免。为改进针对不确定性变量的模拟，有学者将随机优化和传统鲁棒优化的思想相结合，提出概率分布鲁棒优化理论[15]，近年来更有学者将数据驱动的思想引入，深入挖掘历史数据信息以提高分布鲁棒优化的准确度[16]。分布鲁棒优化方法有2个关键的问题需要关注：一个是不确定集的保守程度；另一个是模型的可解性与可扩展性。分布鲁棒应用较多的不确定集为基于矩信息、瓦瑟斯坦和KL离散度等距离度量的不确定集，而为了模型的可解性与可扩展性，通常将分布鲁棒模型简化为正定规划方法[17]、二阶锥规划[18]与分段线性规划[19]的形式。

针对灵活性需求分析的分布鲁棒优化研究取得了一定成果。文献[20]基于范数的概率分布来模拟可再生能源的不确定性，构建主动配电网灵活性机组的分布鲁棒调度模型。文献[21]考虑风电与负荷的时空相关性，基于矩信息的分布鲁棒优化方法，构建灵活性电源的爬坡成本模型。文献[22]考虑到注入转移分布因子的估计误差会造成计算结果的偏差，提出了一种计及误差的鲁棒实时调度方法。但是针对灵活性需求分析的分布鲁棒优化研究尚不完善，缺乏对灵活性需求的系统分析，考虑实时调度特点与风电相关性的不确定集构建有待进一步研究。

以上文献主要研究实时调度中对不确定性的处理，没有明确灵活性需求与不确定性的关系，也没有深入研究风电出力相关性对灵活性需求的影响。灵活性分析与传统鲁棒优化的主要区别在于：灵活性分析考虑具体调度计划的增量不确定性，而传统鲁棒优化不考虑具体场景。因此传统鲁棒优化相对于灵活性分析更加保守。而在实时调度中，当前工作点已知，此时灵活性分析与鲁棒优化有相似特征，因此在实时调度灵活性分析中，鲁棒优化是一个有效方法。

综上，本文结合电力系统实时调度中灵活性的特点与分布鲁棒优化方法的优点，从灵活性需求角度分析，构建考虑风电出力相关性的电力系统分布鲁棒实时调度模型。本文主要贡献为：①系统阐述了灵活性需求的特点以及与不确定性的区别，从灵活性指标的定义出发，给出灵活性需求的一般形式，并结合分布鲁棒的优点，给出灵活性指标的分布鲁棒形式；②为尽量准确描述灵活性需求的不确定集，利用椭球考虑风电出力的相关性，结合椭球集与基于瓦瑟斯坦距离不确定集的优点，提出基于椭球集与瓦瑟斯坦距离不确定集并分析其保守程度；③结合灵活性需求构建电力系统实时经济调度模型，通过严格的数学推导，将原问题转化为可解并且具有可扩展性的混合整数线性规划问题。

1 灵活性需求分析

1.1 灵活性需求公式

目前学界对灵活性的定义尚未完全统一，电力系统灵活性一般指：在给定时间尺度下，系统对随机波动的调节能力。根据文献[23]定义，灵活性指标可以采用随机变量最大波动区间与灵活性电源调节容量区间来表征，即在给定时间尺度、经济性与物理约束条件下，灵活性指标可表示为

从式（1）可以看出，电源调节容量越多、随机变量波动区间越小，则灵活性越充足，但是盲目增加调节容量会导致成本增加。如图1所示，灵活性区间大于所需随机变量不确定集时，灵活性充足，但是此时所需成本较高；反之，则灵活性存在缺额。因此，综合考虑经济性与灵活性，有必要对灵活性需求准确评估。

对于给定电力系统参数与约束的灵活性需求（即不确定集范围），计算模型可以采用以下紧凑形式表示：

式中：分别为随机变量∆P 取值范围的上界与下界；A、B 与b 分别为系统参数；a(⋅)为变量∆P 的函数。

式（2）中的不确定集通常比较保守，采用分布鲁棒形式对其改进并采用机会约束，得到最终的灵活性需求的公式为最不利概率分布条件下的期望：

式中：为可再生能源出力的概率分布；Φ 为概率分布不确定集，具体公式见1.2节；1−ρ 为置信度矢量，其中确定性约束对应的元素为1。

1.2 概率分布不确定集

目前最常用的概率分布不确定集多为基于一阶矩或高阶矩，而瓦瑟斯坦距离可以更加准确度量两个概率分布的距离。任意两个概率分布的瓦瑟斯坦距离定义为[24]

式中：θ1、θ2分别为概率分布 的随机变量， Ξ 为其支撑集；Π ⋅()为随机变量的联合分布。

通常灵活性需求中，随机变量服从的分布未知，本文采用数据驱动的方式构建不确定集。假设新能源电站随机变量的预测误差ζ 的分布未知，但由历史数据得到样本数据为{ζ 1,ζ 2,… , ζN}，N为样本数量。

考虑风电出力的相关性，本文采用椭球集合衡量不确定性变量的相关性信息：

集合中：c为样本椭球中心；Q ∈RN N× 为对称正定矩阵。

为求解c 与Q，构造如下封闭椭球最小体积（minimum volume enclosing ellipsoid，MVEE）问题：

式中：n为空间维度，即风机个数。

由于式（6）为凸问题，可以采用提升投影（lift and project）方法高效求解[25]。

定义新的随机变量ζ′替换原风电预测误差，并将Ξ 转换为轴向的椭球集合：

式中：U、D来自矩阵Q的正交分解Q=UTDU=U-1DU， 其中对角矩阵为D=diag (λ1 , λ2, …, λn)。

集合Ξ′中的极限场景采用特征值表示为

根据式（7）的逆变换，原始场景中对应的极限场景为

集合Ξ′与Ξ 可分别简化为由对应极限场景组成的凸壳：

由于凸壳Ξa 涵盖区域比椭球Ξ 小，无法包含所有历史场景，因此引入尺度系数η 来衡量集合的保守性，则原极限场景可表示为

最终，集合Ξ 可简化为由对应极限场景（13）组成的凸壳：

结合考虑相关性信息的不确定集Ξ 以及瓦瑟斯坦距离更加准确度量概率分布间距离的特点，构建分布鲁棒不确定集

式中：dW(⋅)表示瓦瑟斯坦距离。

与长时间尺度风电出力概率密度曲线有厚尾特性不同，在超短期风电出力预测中，风电出力概率密度分布通常呈轻尾特性[26]。针对具有轻尾特性的概率分布，存在一个a>1，使得如下公式成立：

假设式（16）成立并且不确定集中的随机变量个数n>2，则瓦瑟斯坦距离的概率满足如下置信公式[27]：

式中：c1与c2为正参数，其值只与n、A、a有关。

设定公式（17）的置信度为1−β，则瓦瑟斯坦半径可推导为

2 考虑灵活性需求的分布鲁棒实时调度模型

2.1 目标函数

取式（3）中的范数为1范数，针对每个机组提供的灵活性进行经济补偿，将灵活性需求转化为经济性指标，与机组燃料成本、切负荷成本、弃风成本一起组成本文的目标函数指标，从而考虑实时调度的经济性。

本文所提分布鲁棒经济调度模型为两阶段模型，其目标为在满足约束的最不利概率分布条件下的期望成本最低。目标函数包括机组燃料成本、灵活性成本（即AGC调节容量成本）、切负荷成本与弃风成本，具体描述如下：

式中：I为机组i的燃料成本；Ⅱ为机组i提供灵活性的成本；Ⅲ为切负荷成本；Ⅳ为弃风成本；为可再生能源出力的概率分布，Φ 为概率分布不确定集；G为传统机组集合；Pg,i为机组运行基准点；∆Pg,i 为机组出力增量； 分别为机组i所需提供灵活性的上调容量与下调容量；cu,i与cd,i为分别为机组i提供上调容量与下调容量的单位成本；pu与pd为分别为切负荷与弃风的单位成本；x为决策变量的矢量形式，包括

fi(⋅)为机组燃料成本，采用如下二次函数表示：

在实时调度中，机组按照线性AGC策略，根据功率分配因子αi 将功率不平衡量e ζT 分配到机组：

式中：ζ 为风电场发电功率预测误差向量列向量，行数为风电场数量。αi 还应该满足如下约束：

2.2 约束条件

1）功率平衡约束。

式中：G、W、D分别为传统机组、可再生能源机组与负荷的集合；Pr, j为可再生能源预测出力；Pd,k为负荷。

2）灵活性调整容量上、下限约束。

式中：分别为机组上调容量与下调容量的最大值。

3）机组功率上、下限约束。

式中： 分别为机组最大出力与最小出力。

4）机组出力增量约束。

表示在最不利概率分布条件下，机组出力增量需要至少在1−ρ 概率下满足出力增量小于调整容量约束：

5）潮流约束。

表示在最不利概率分布条件下，线路潮流需要至少在1−ρ 概率下满足传输容量约束。为简化计算，假设在上一层次调度中已进行了交流潮流验证，并采用均摊线路损耗至线路两端节点的方式进行线损修正，进而简化潮流计算为

式中：L为支路集合；Pl 为支路l上的功率； 分别表示支路l正向与反向的潮流约束下限与上限。其中的Pl为

式中：Gi,l为AGC机组i对支路l的功率转移分布因子；Gj,l为可再生能源发电机组 j对支路l的功率转移分布因子。

3 调度模型求解算法

原分布鲁棒调度问题为非线性问题，难以直接求解。本文采用线性化处理方法，将原问题转化为混合整数线性规划问题。求解混合整数线性规划问题，目前已有比较成熟的软件（如LINGO、CPLEX、GUROBI等）。

3.1 目标函数线性化

定理1[28]：对于任意给定的随机变量ζ ∈RN，如果支撑集Ξ 为闭凸集且损失函数为上半连续的，则瓦瑟斯坦球概率分布集合下最差场景期望为

由于椭球支撑集与非线性函数的引入，目标函数采用定理1进行转化后仍为非线性。为简化计算，本文对不确定集下的目标函数进行线性化处理，具体步骤如下。

机组燃料成本函数fi(⋅)为二次凸函数，对其采用分段线性化处理[29]，对于切负荷与弃风成本，同样采用分段线性函数表示，则目标函数转化为

式中：ω =e ζT ；ai k, (x)与bi k, (x)分别为机组i的第k分段的斜率与截距。

机组i的分段集合由燃料成本、切负荷成本与弃风成本三部分组成，其分段下标集合{1,…,K}也由三部分组成：

式中：ki,f,ki,u,ki,d分别为机组i的燃料成本、切负荷与弃风成本分段节点的下标。

因此，ai k, (x)与bi k, (x)可以整理为如下形式：

式（36）与（37）中各参数的具体表达式如下：

式中：cki,f 与dki,f 分别为机组i燃料成本的分段系数。

目标函数形式（34）中，最不利概率分布下成本期望为

由于式（44）难以计算，考虑其近似上界：

式中各机组燃料成本可以独立计算。对于机组i，最不利概率分布下的燃料成本期望为

式（46）中采用一阶矩支撑集作为其近似上界[19]，则根据凸函数的对偶理论，式（46）等价为[30]

线性规划中最优解在极点处取得，因此ω 取、或，则式（47）中的约束可以等效为

最终，目标函数可以简化为如下形式：

3.2 约束线性化

考虑模型中的一般性机会约束：

定义 为ζ 的经验分布，采用Ξ′a 作为不确定集，则机会约束（50）等价为

为减少不确定集Ξ′a 的保守程度，需要求解尺度系数η 的最小值，即求解模型（52）：

问题（52）的具体求解过程如下。

1）为方便推导，定义新的函数：

2）根据函数（53），不确定集Ξ′a 的指示函数为

3）根据定理1与指示函数定义，机会约束可以转化为如下数据驱动的形式：

注意到式（55）中的最恶劣场景概率是关于η的递减函数，并且函数中只有λ与η两个决策变量，因此可以采用二分法进行快速求解[10]。

4）求解得到最优η之后，根据式（13），更新不确定集Ξ′a。

根据凸壳定义，最终机会约束（50）转化为线性约束：

4 算例分析

本文使用GUROBI对模型进行求解，计算机配置为英特尔i7-8700处理器，主频3.2 GHz，内存8 GB。

4.1 算例介绍

本文以调整后的IEEE 14节点系统为算例，其中节点3与节点12各接入1台风机，预测出力均为50 MW，其拓扑如图2所示。系统数据参考matpower的case14.m。 假设风机出力的预测误差服从正态分布[31]，其均值为0，标准差为10%。根据预测出力与误差分布模拟10组样本数据，作为历史数据，最终算例结果为10次模拟结果的期望。本文的机会约束置信度1- ρ为95%，线路容量为70 MW。5个机组的灵活性调节容量分别为20、10、8、8、8 MW。cu,i与cd,i分别为机组i的燃料成本函数一次项ci2的50%。

4.2 计算结果与分析

当样本数据量N=1000时，采用本文方法计算的实时调度结果如表1所示。

从表1可以看出，在IEEE 14节点系统中加入2个风机后，常规机组中G4与G5处于停机状态，是因为其运行成本高于其他机组。G3不参与灵活性调节，是因为其提供灵活性成本较G1与G2高，系统灵活性需求由G1与G2就可以完全满足。机组G1的机组运行基准最多为102.71 MW。根据功率分配因子、风机出力预测误差与置信概率，得到表1中的机组G1与G2的灵活性调节容量，所有机组总的灵活性调节容量区间为[-12.80, 12.89] MW，即满足置信水平的灵活性需求。各机组成本包括机组燃料成本与灵活性成本，最终得到系统的总成本为4 924.32美元。

为进一步说明本文所建模型的有效性，对比采用同样置信水平下的不考虑风电出力相关性的基于一阶矩与瓦瑟斯坦距离不确定集的分布鲁棒优化方法、传统鲁棒优化方法与随机优化方法得到的实时调度计算结果，如表2所示。

对比表1与表2可知，3种方法的实时调度结果中，开机方式是相同的，各机组出力的比例相似而略有不同，这是因为不同方法对不确定性的模拟不同。随机优化的灵活性需求区间为[-12.13, 12.72]MW，是3种方法中灵活性需求最小的，但是其假设概率分布是已知的，得到的结果偏于乐观。在本文算例中，相同置信水平下鲁棒优化的灵活性需求区间为[-15.23, 17.31]MW，其灵活性需求高于其他方法的主要原因是其不确定集范围更大，需要更多灵活性来应对最恶劣的场景。而分布鲁棒实时调度模型则综合随机优化与鲁棒优化的特点，其灵活性区间介于两者之间：当不考虑风电出力相关性时，其灵活性区间比随机优化大6.5%，而比鲁棒优化小19%；当考虑风电出力相关性时，其灵活性区间更小，比不考虑相关性的分布鲁棒小21%。本文构建的模型以略微增加灵活性区间为代价考虑了随机变量分布的不确定性，同时考虑风电出力的相关性以减少不确定集的保守程度。

采用本文所提分布鲁棒优化方法、不考虑风电出力相关性的基于一阶矩与瓦瑟斯坦距离不确定集的分布鲁棒优化方法、传统鲁棒优化方法与随机优化方法进行实时调度的成本对比如表3所示。

采用4种方法的调度成本由低到高为：随机优化、本文所提分布鲁棒优化、不考虑相关性基于瓦瑟斯坦距离不确定集的分布鲁棒优化、传统鲁棒优化方法。本文所提分布鲁棒优化方法在考虑随机变量概率分布不确定性与风电相关性的同时，成本增加幅度较小，而鲁棒优化则增加幅度较高。从机组燃料成本的角度看，不同方法相差较小，鲁棒优化略高于其他方法。但是在灵活性成本方面，4种方法的差别较大，这与表2中不同方法的灵活性需求大小相对应。本算例中，不同方法的总成本差异主要体现在灵活性成本上。最后，不同方法的计算时间均满足实时调度对计算效率的需求。

为验证本文所提分布鲁棒方法的有效性，进一步对比不同分布鲁棒方法在实时调度模拟中的结果，表4分别列出应用5种方法进行实时调度成本对比，分别是本文所提分布鲁棒优化、基于一阶矩与瓦瑟斯坦距离不确定集的分布鲁棒优化、基于矩信息不确定集的分布鲁棒优化、对称分布鲁棒优化、正态分布鲁棒优化方法。

从表4可以看出，在分布信息完全未知的条件下，本文所提方法得到的结果中，无论是灵活性成本还是总成本都低于基于其他典型不确定集的分布鲁棒优化方法得到的结果，验证了本文所提方法的保守程度更低。采用对称分布鲁棒优化方法与正态分布鲁棒优化方法的成本也相对较低，因为其假设随机变量服从正态分布，而在此算例中数据集恰好采用正态分布生成。而本文所提方法在信息完全未知的条件下，通过数据驱动达到更优的效果。因此，在信息假设完全正确的前提下，假设越具体，其对应的分布鲁棒优化方法的效果越好；而在信息完全未知或假设错误的前提下，本文所采用的基于椭球与瓦瑟斯坦距离不确定集的分布鲁棒优化方法挖掘了更多数据信息，计算效果更好。

为进一步分析不同机组提供灵活性区间的影响因素，分别分析机组不同爬坡速率对机组提供灵活性区间的影响。

在以上实时调度结果分析中，机组G1与G2承担了所有灵活性需求，其中G2提供了大部分灵活性。为分析不同机组提供灵活性与经济性、调节能力的关系，本文设置4个不同机组调节能力的场景，场景中只改变G1与G2的调节能力，其他机组不变，不同场景数据见表5。其中机组调节能力为机组提供灵活性的上调容量与下调容量的最大值，即

在其他数据不变的条件下，不同场景的灵活性区间如图3所示。图3中的场景1为机组调节能力较低的情况，此时G1与G2的调节能力不同，在其达到灵活性上限时，剩余部分由G3承担。而场景2中机组G2调节能力不足、G1调节能力充足，大部分灵活性需求由机组G1承担。场景3中G2调节能力增强，其承担的灵活性也增加。场景4中，G2调节能力充足，全部灵活性需求都由G2承担。由此可见，采用本文的方法计算得到不同机组提供的灵活性受经济性与调节能力影响，在系统灵活性充足的情况下，优先考虑经济性最优的方案，最终综合考虑灵活性与经济性的需求。

5 结语

兼顾灵活性与经济性指标，同时在牺牲可接受经济性代价的前提下，较好考虑随机变量概率分布不确定性，是大规模新能源接入后对电网调度运行的需求。

本文建立了考虑灵活性需求与风电相关性的电力系统分布鲁棒实时调度模型。模型采用分布鲁棒优化形式，第一阶段优化机组基准运行点、分配因子与灵活性区间，第二阶段优化最不利概率分布下的机组运行与灵活性成本期望，最终构建考虑经济性与灵活性的实时调度综合模型。模型采用基于椭球与瓦瑟斯坦距离的不确定集，可以较准确地模拟随机变量概率分布的不确定性与相关性。